Trasformata di Fourier

deriva dall'utilizzo dell'integrale nella definizione;

\(x(t) \rightarrow X(f) \rightarrow x(-t)\)

\(h(t)=x(at) \rightarrow H(f)=\frac{1}{|a|}X(\frac{f}{a})\) la variazione di scala influenza il modulo e non la fase di un asegnale;

\(h(t)=x(t \pm t_0) \rightarrow H(f)=e^{\pm j 2\pi f_0}X(f)\)

\(h(t)=x(t)e^{\pm j 2\pi f_0 t} \rightarrow H(f)=X(f \mp f_0)\) La modulazione influisce sallo spettro della fase.

\(h(f)*x(f) \rightarrow H(f)X(f)\)
\(h(f)x(f) \rightarrow H(f)*X(f)\)

Un segnale reale o complesso ammette TDF formata da parte reale e immaginaria che però sotto oppurtune condizioni diventano mutuamente esclusive. In generale un segnale \(x(t)\) ammette TDF del tipo \(X(f)=Re\{X(f)\} + jIm\{X(f)\}=|X(f)|\cos (\theta) + j|X(f)|\sin (\theta)\) dove la parte reale è sempre simmetrica mentre quella immaginaria è sempre antisimmetrica.

\begin{equation}\begin{split} x(t)=\int^{\infty}_{-\infty}G(f)e^{j2\pi ft}df=\int_{-\infty}^{0}G(f)e^{j2\pi ft}df + G(0) + \int^{0}_{\infty}G(f)e^{j2\pi ft}df=\\ =G(0) - \int^{-\infty}_{0}G(f)e^{j2\pi ft}df + \int^{0}_{\infty}G(f)e^{j2\pi ft}df =\\ =G(0) - \int^{\infty}_{0}G(-f)e^{-j2\pi ft}df + \int^{0}_{\infty}G(f)e^{j2\pi ft}df =\\ \end{split}\end{equation}

Una dimostrazione delle proprietà sopra elencate la si ha osservando come un segnale \(x(t)\) reale può essere rappresentato in forma trigonometrica utilizzanzo la sua TDF:

per cui

\begin{equation}\begin{split} con\ G(f)\ pari\ \Rightarrow x(t)=G(0) + 2 \int^{0}_{\infty}G(f) \frac{[e^{j2\pi ft} + e^{j2\pi ft}]}{2}df= \\ G(0) + 2 \int^{0}_{\infty}G(f)cos(2\pi ft)df \\ con\ G(f)\ dispari\ \Rightarrow x(t)=G(0) + 2 \int^{0}_{\infty}G(f) \frac{[e^{j2\pi ft} - e^{-j2\pi ft}]}{2}df= \\ G(0) + 2j \int^{0}_{\infty}G(f)sin(2\pi ft)df \end{split}\end{equation}

Nella fig. 2 un riepilogo dell'ultima parte della teoria.

\(\frac{d^n}{d_t}x(t)\ \Rightarrow X(f)=(j2\pi f)^n X(f)\)

In pratica sia \(x(t)\) un segnale reale e \(x^1(t)\) la sua derivata prima e \(x^2(t)\) la sua derivata seconda allora se non riesco a calcolare la TDF di \(x(t)\) posso derivare fino a quando non ottengo una funzione, nel nostro caso \(x^2(t)\), di cui so calcolare la derivata allora :

\begin{equation} x(t) \Rightarrow x^1(t) \end{equation}

Nella fig. 3 un esempio applicativo del teorema

Sia \(x(t)=\int_{-\infty}^{t}g(\alpha)d_\alpha\) come mostra il grafico seguente

per cui

\begin{equation}\begin{split} x(t)=\int_{-\infty}^{t}g(\alpha)d_\alpha= \\ = \int_{-\infty}^{\infty}g(\alpha)u(t - \alpha)d_\alpha=g(t)*u(t) \end{split}\end{equation}

la cui TDF è

\begin{equation}\begin{split} X(f)=G(f)U(f)=G(f)[\frac{1}{j2\pi f} + \frac{\delta(t)}{2}]= \\ = \frac{G(f)}{j2\pi f} + G(f)\frac{\delta(t)}{2}= \\ = \frac{G(f)}{j2\pi f}+ \frac{G(0)}{2} \end{split}\end{equation}

per cui se nel dominio del tempo vale sempre la seguente relazione

\(x(t)=\int x'(t)d_t \Rightarrow X(f)=\frac{X^{'}(f)}{j2\pi f}+ \frac{X^{'}(0)}{2}\)

nel dominio della frequenza si ha che

\(X(f)=\frac{X'(f)}{j2\pi f}\) vale solo se \(X^{'}(0)=0\) cioè per segnali privi di componente continua ( segnali ad energia finita ).

Misura la somiglianza di due segnali. Si definisce come :

\begin{equation}\begin{split} C_{12}(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty} x_1(t + \alpha)x_2^c(t)d_t= \\ = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)x_2^c(t - \alpha)d_t \\ da \ cui\ \\ F[C(\alpha)]=X_1(f)X_2^c(f)=S_{12}(f) \end{split}\end{equation}

in cui \(\alpha\) rappresenta la finestra di covoluzione.

Nel caso in cui \(x(t)\) sia un segnale allora :

• \(S_{12}(f)\) rappresenta lo spettro di energia mutua o densità spettrale di energia mutua;
• dalla proprietà che afferma che :
  

\(x^c(t) \rightarrow X^c(-f)\) e \(x^c(-t) \rightarrow X^c(f)\);
si ottiene \(S_{12}(f)=S^c_{21}(f)\) che ne caso di segnali reali si trasforma in \(S_{12}(f)=S_{21}(-f)\), inoltre per segnali reali di ha che \\ \(S_{12}(f)S^{21}(f)=G_1(f)G_2^c(f)G_2(f)G_1^c(f)=|G_1(f)|^2|G_2(f)|^2\);

Valutazione della crossrelazione in funzione di \(\alpha=0\) ottenuta apllicando a \(X_2^c(f)\) la proprietà \(x^c(t) \rightarrow X^c(-f)\) :

\begin{equation}\begin{split} C_{12}(0)=\int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)x_2^c(t)d_t= \int_{-\infty}^{\infty} F^{-1}[X_1(f)X_2^c(-f)] dt= \\ \int_{-\infty}^{\infty} X_1(f)e^{j2\pi f t} X_2^c(-f)e^{-j2\pi f t} dt= \\ \int_{-\infty}^{\infty} X_1(f)X_2^c(-f) d_f \end{split}\end{equation}

che altro non è che il Teo di Parsefal

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)x_2^c(t)d_t=\int_{-\infty}^{\infty} X_1(f)X_2^c(-f)d_f \end{equation}

Inoltre quando \(C_{12}(0)=0\) si parla di segnali ortogonali. Se invece \(C_{12}(0) \neq 0\) si dice che due segnali sono segnali parallelli.

Per la giustificazione di quanto sopra basta ricordare che :

\begin{equation}\begin{split} \lvert C_{12}(0) \lvert ^2 =\lvert \int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)x_2^c(t)d_t \rvert ^2 = \\ = \int_{-\infty}^{\infty} |x_1(t)|^2 |x_2^c(t)|^2 d_t \end{split}\end{equation}

e che ogni \(\int_{-\infty}^{\infty} ... d_t\) può essere visto come un vettore complesso di componenti \(x=a +jb\).

• Nel caso \(C_{12}(0)=0\)

\begin{equation}\begin{split} \lvert C_{12}(0) \lvert ^2 =\lvert \int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)x_2^c(t)d_t \rvert ^2 = \\ \lvert (a_1 +jb_1) (a_2 +jb_2) \rvert ^2 = \lvert a_1a_2 +ja_1b_2 + ja_2b_1 - b_1b_2 \rvert ^2 = \\ \lvert (a_1a_2 - b_1b_2) + j(a_1b_2 + a_2b_1) \rvert ^2 =\\ (a_1a_2 - b_1b_2)^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)^2 = 0 \\ da\ cui\ \\ [(a_1a_2 - b_1b_2), (a_1b_2 + a_2b_1)] = [0,0] \end{split}\end{equation}

l'unica combinazione possibile è che i due vettori siano perpendicolari.

• Nel caso \(C_{12}(0) \neq 0\)

\begin{equation}\begin{split} \lvert C_{12}(0) \rvert ^2=\lvert \int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)x_2^c(t)d_t \rvert ^2=\\ =\int_{-\infty}^{\infty} \lvert x_1(t) \rvert ^2 d_t \int_{-\infty}^{\infty} \lvert x_2^c(t)d_t \rvert ^2 \end{split}\end{equation}

sviluppando separatamente ambo i membri si ottiene

\begin{equation}\begin{split} a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2 + a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_2^2 = \\ a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2 + a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_2^2 \end{split}\end{equation}

l'unica combinazione possibile è che i due vettori siano paralleli.

Valutazione della crossrelazione in funzione di \(\alpha \neq 0\) :

• Nel caso \(C_{12}(\alpha)=0\) i segnali sono incorrelati.
  TEO: CNS affinchè due segnali siano incorrelati è che \(G_1(f)G^c_2(f)=0\)
• Nel caso \(C_{12}(\alpha) \neq 0\) misura del grado di somiglianza;

Misura la velocità di variazione di un segnale e si definisce come :

\begin{equation} \label{org370e063} A(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty} x_1(t + \alpha)x_1^c(\alpha)d_t \Rightarrow F[A(\alpha)]=S(f)=X_1(f)X_1^c(-f)=|X_1(f)|^2 \end{equation}

in cui \(\alpha\) rappresenta la finestra di covoluzione e \(S(f)\) è la la densità spettrale di energia.

• Nel caso in cui \(\alpha=0\) si ottiene il teo dell'energia :
  • Inoltre se \(A(0)=0\) non è interessante;

  • Nel caso in cui \(A(0) \neq 0\):

    \begin{equation} \label{orged9796a} A(0)=\int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)x_1^c(t)d_t=\int_{-\infty}^{\infty} \lvert x_1(t) \rvert ^2 d_t =E \end{equation}

    Dalla formula d'inversione della TDF si ha che :

\begin{equation}\begin{split} A(0)=\int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)x_1^c(t)d_t=\int_{-\infty}^{\infty} F^{-1}[S_1(f)S_1^c(-f)] df=\\ \int_{-\infty}^{\infty} S_1(f)e^{j2\pi ft} S^c_1(f)e^{-j2\pi ft}d_t= \\ \int_{-\infty}^{\infty} S_1(f) S^c_1(-f)df= \\ \int_{-\infty}^{\infty} |S_1(f)|^2 d_f \end{split}\end{equation}

che altro non è che l'uguaglianza di Parsefal

\begin{equation} \label{orgb70ac52} \int_{-\infty}^{\infty} \lvert x_1(t) \rvert ^2 d_t=\int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2d_f \end{equation}

• Nel caso \(\alpha \neq 0\) abbiamo le seguenti possibilità :
  • \(A(0)=0\) non interessante;
  • SE x(t) È COMPLESSO \(\Rightarrow A(\alpha)=A^C(-\alpha )\) SIMMETRIA HERMITIANA
  • SE x(t) È REALE \(\Rightarrow A(\alpha)=A(-\alpha )\) SIMMETRIA REALE
• Infine si ha che \(|A(\alpha)| \leqslant A(0)\)