Trasformata Z

1. Scopo

E' una trasformata complessa che si applica a funzioni discerete al fine di trasformarle in funzioni più semplici. Esiste in senso ordinario ( cioè senza ricorrere all'uso della delta di D. ) ed esiste anche quando non esiste la TDF.

Esempio :

La TDF di \(u(t)\) non esiste in senso ordinario in quanto è necessario utilizzare la \(\delta(t)\) per calcolare la TDF, mentre esiste la TDZ senza la delta di D.

Altro esempio di sequenza sono i segnali a pettine \(x(nT)=x[n]\)

2. Principio di esistenza della TDZ

Sia \(x[n]\) una sequenza infinita di impulsi allora la serie \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\) generalmente diverge.

Se però la si moltiplica per un fattore di smorzamento idoneo t.c.

\(|x[n](fattore\ di\ smorzamento)| \leq 1\)

allora la serie converge.

Affinchè l'argomento della serie sia minore di uno è necessario dividere \(x[n]\) per un fattore t.c. tenda a zero più rapidamente di come \(x[n] \rightarrow \infty\) per cui sia \(\tilde{x}[n]=x[n](\frac{1}{r})^n\) allora :

\begin{equation}\begin{split} \label{org1a75d68} X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \tilde{x}[n] e^{-j2\pi n ft} = \\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n] (\frac{1}{r})^n e^{-j2\pi nft}=\\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] (re^{j2\pi ft})^{-n}= \\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \end{split}\end{equation}

Nel caso di \(x[n]\) sia una sequenza causale, cioè esiste un \(n=0\) t.c. \(x[n]=0 \forall \ n<0\) la \eqref{org1a75d68} diventa \(X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x[n] (re^{j2\pi ft})^{-n}\) nota come TDZ unilatera mentre altrimenti è nota come TDZ bilatera.

3. Criterio di convergenza

Domanda : per quali valori di r si ha la convegenza della serie.

Risposta la ROC di convergenza è quella parte di piano complesso in cui la sequenza non ha punti di discontinuità e converge uniformemente.

Figure 1: Come si ricava la ROC di una TDZ

Condizione sufficente di convergenza : esempio gradino \(u[n]\) vds fig 2

Cosa succede sulla circonferenza unitaria (zona di confine ) ? Nel caso specifico la TDF esiste ma solo se si ricorre alla \(\delta[n]\) e comunque in generale il confine và studiato caso per caso. vds fig 3

in riferimento alla fig 3

\(Z=1\) nel dominio di F. \(F=0\) ( valore in continua ) vds \(X(F)|_{F=0}\);
\(Z=-1\) nel dominio di F vale \(\{-0.5,0.5\}\) cioè \(+/- f_c/2\), il segno indica il verso di poercorrenza della circonverenza. In pratica volendo andare a vedere lo spettro di un segnale alla frequenza di campionamento alla +/- fc/2 si deve prenedere la TDZ della sequenza con z=-1;

3.1. ROC per tipi particolari di TDZ

sequenza finita convergente su tutto il piano z. Però per alcune sequenze ci possono essere dei problemi in punti particolari vds fig 6. Nel primo grafico con gli indici positivi il punto critico è 0 mentre nel secondo con indici negativi la sequenza non è definita in \(\infty\);
unilatera sinistra : interno del cerchio \(ROC_s=\{z: |z| \leq r_s\}\);
unilatera destra : esterno del cerchio \(ROC_d\{z: |z| \geq r_d\}\) (vds fig 7 ). Inoltre è considerata unilatera dx anche una sequenza con un numero finito di elementi a sx, in questo caso la convergenza è l'intersezione del piano z ( ROC per la parte finita ) e l'esterno del cerchio (ROC per la tdz dx ) che da come risultato la ROC della TDZ dx ( vds fig 8 );
bilatera : parte di piano data dall'intersezione di \(ROC = ROC_s \cap ROC_d=\{z: r_s \leq |z| \leq r_d\}\);

Figure 6: caso particolare di una sequenza finita.

Figure 7: dimostrazione della convergenza unilatera dx

Figure 8: caso particolare di convergenza unilatera dx

Figure 11: casi di ROC di una sequenza bilatera

3.2. Esempio \(2^nu[n]\)

la cui regione di convergenza è quella esterna al cerchio di raggio 2 mentre il cerchio di raggio unitario (regione di conv della TDF ) non è compreso all'interno della ROC della TDZ ed è per questo che la TDF non converge

3.3. Esempio \(x[n]=a^nu[n]\)

con a anche numero complesso. Nell'ipotesi assurda che vi sia un polo \(p_0\) all'interno della ROC allora significa che ci sarebbe una discontinuità e la ROC non sarebbe più connessa.

Figure 14: esempio della sequenza \(a^nu[n]\)

3.4. Esempio \(x[n]=a^{-n}u[n-1]\)

Sequenza fondamentale. Da notare che la TDZ è quella dell'esempio precedente ma con ROC diversa.

Figure 15: calcolo della TDZ di \(x[n]=a^{-n}u[n-1]\)

Figure 16: calcolo della ROC di \(x[n]=a^{-n}u[n-1]\)

4. Proprietà della TDZ

4.1. Ritardo o Traslazione

Sia \(\tilde{x}[n]=x[n-n_0]\) e si indichi \(k=n -n_0\) allora

\begin{equation}\begin{split} \label{org6d80d37} \tilde{X(z)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \tilde{x}[n]z^{-n}= \\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n-n_0]z^{-n}= \\ = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]z^{-(k + n_0)}=\\ = z^{-n_0} \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]z^{-k} \end{split}\end{equation}

NB : il raggio di convergenza di \(\tilde{X}[f]\) è lo stesso di \(X[f]\) a meno :

dello 0 quando \(n_0 \geqslant 0\);
del punto all' \(\infty\) quando \(n_0 \leq 0\);

Inoltre la proprietà si può applicare quando tutte le sequenze hanno lo stesso ritardo.

4.2. Derivazione nel dominio n

Sia \(\tilde{x}[n]=nx[n]\) e sia \(k=-n\) allora

\begin{equation}\begin{split} \label{org4a97726} \tilde{X(z)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \tilde{x}[n]z^{-n}=\sum_{k=\infty}^{-\infty} nx[n]z^{-n}=\sum_{k=\infty}^{-\infty} x[n]nzz^{-(n-1)}=\\ = z \sum_{n=-\infty}^{\infty} \tilde{x}[n]z^{-(n-1)} \end{split}\end{equation}

4.3. Derivazione nel dominio z

\(y[n]=nx[n] \Leftrightarrow Y(z)=-z\frac{dX(z)}{dz}\)

per la dimostrazione vds fig 17

Figure 17: Dimostrazione della prop. di derivazione in z della TDZ

4.4. Prodotto esponenziale

Siac \(\tilde{x}[n]=a^nx[n]\) allora la tdz relativa è \(\tilde x(z)=x(\frac{z}{a})\) con \(roc=\{z: r_1|a|<|z|

4.5. Covoluzione

sia \(\tilde{x}[n]=x[n] \bigotimes y[n]\) e sia \(\alpha=n-k \rightarrow n=k + \alpha\) allora

\begin{equation}\begin{split} \tilde{X}(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \tilde{x}[n]z^{-n}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[k]y[n-k]z^{-n}=\\ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\sum_{\alpha = -\infty}^{\infty}x[\alpha]z^{-\alpha -k}=\\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] z^{-k} \sum_{\alpha = -\infty}^{\infty} y[\alpha] z^{-\alpha}=X(z)Y(z)\\ \end{split}\end{equation}

la zona di convergenza è l'intersezione delle zone di convergenza.

4.6. Coniugazione

\(y[n]=x^c[n] \leftrightarrow y[z]=x^c[z^c]\) in cui entrambe le uguaglianze hanno la stessa regione di convergenza

4.7. Inversione temporale

\(y[n]=x[-n] \leftrightarrow y(z)=x(z^{-1})\) con \(ROC=\{z: 1/r_1<|z|<1/r_2\}\) con \(r_1,r_2\), rispettivamente gli estremi inferiori e superiori della regione di convergenza della \(X(z)\).

4.8. Derivazione

\(y[n]=x\)

4.9. TDZ del prodotto

Sia \(w[n]=x[n]y[n]\) allora la covoluzione complessa risulta :

\begin{equation}\begin{split} \label{org1ff2ab1} W(z)=\frac{1}{j2\pi}\oint_C Y(z)X(\frac{z}{v})v^{-1}dv \end{split}\end{equation}

Dimostrazione

Dal risultato della \eqref{orgacc2a70} abbiamo il seguente risultato preliminare
\begin{equation}\begin{split} \label{org4183eb2} y[n]=\frac{1}{j2\pi}\oint_C Y(v)v^{v-1}d_v \end{split}\end{equation} \begin{equation}\begin{split} \label{orgbdf8008} W[z]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]y[n]z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \frac{1}{j2\pi}\oint_C Y(v)v^{v-1}d_v= \\ \frac{1}{j2\pi}\oint_C Y(v)v^{v-1} (\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n})d_v = \frac{1}{j2\pi}\oint_C Y(v) (\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] v^{v-1}z^{-n})d_v= \\ \frac{1}{j2\pi}\oint_C Y(v) (\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] (\frac{z}{v})^{-n}v^{-1})d_v= \frac{1}{j2\pi}\oint_C Y(v) X(\frac{z}{v})v^{-1}d_v \end{split}\end{equation}
Raggio di convergenza
Nell'ipotesi che la covoluzione complessa converga allora il percorso C è incluso nelle ROC di X(z/v) e Y(v) le rispettive ROC sono :
- \(ROC_X = \{z: R_{1X} < |z| < R_{2X}\}\);
- \(ROC_Y = \{z: R_{1Y} < |z| < R_{2Y}\}\);
Nel caso di specie le ROC di x[n] e y[n] sono
- \(R_{1X} < |v| < R_{2X}\);
- \(R_{1Y} < |z/v| < R_{2Y}\);
e la ROC di W(z) appartiene alll'intersezione ( prodotto delle zone ) delle due zone di convergenza :
- \(R_{1X}R_{1Y} <|z| < R_{2X}R_{2Y}\)

4.10. TDF del prodotto

Applicando la normalizzazione alle sequenze x[n] e y[n] e nell'ipotesi che queste ammettono entrambe TDF allora le loro ROC comprendono la circonferenza unitaria, che altro non è che il cammino d'integrazione, per cui :

all'interno della circonferenza unitaria \(z=e^{j2\pi F}\)
lungo il cammino d'integrazione (cironferenza unitaria ) \(v=e^{j2\pi \theta}\)
1. \(d_v=j2\pi e^{j2\pi \theta}d_{\theta}\)
\(-0.5 < F < 0.5\)

per cui la \eqref{orgbdf8008} può essere riscritta, in funzione anche del fatto che \((z/v)=zv^{-1}=e^{j2\pi F}e^{-j2\pi \theta}=e^{-j2\pi (F-\theta)}\) da cui \(X(z/v)=X(F- \theta)\)

\begin{equation}\begin{split} \label{org092430d} W(z)=\frac{1}{j 2\pi}\int_{-0.5}^{0.5}Y(\theta)X(F - \theta) e^{-j2\pi \theta} j2\pi e^{j2\pi \theta} d_{\theta} \end{split}\end{equation}

5. Antitrasformata della TDZ

L'operazione di inversione associa ad una funzione di variabile complessa definita un una precisa regione di piano una sequenza \(x[n]\), si noti che diverse sequenze hanno la stessa TDZ e dunque per ottenere l'inversione è necessario conoscere l'insieme di convergenza.

5.1. Definizioni

Polo radici che annullano il denominatore di \(D(z)\), E un punto di discontinuità. Non ci sono poli all'interno della ROC;
Zeri radici che annullano il numeratore di \(N(z)\). Non è punto di discontinuità;
Teo integrale di Cauchy

\begin{equation}\begin{split} \frac{1}{j2\pi}\oint_C z^{n-1}d_z= \begin{cases} 1 & n=0 \\ 0 & n \neq 0 \end{cases} \end{split}\end{equation}

in cui \(C\) è una curva chiusa contenente l'origine e percorsa in senso antiorario.

Residuo Sia \(Y(z)\) una funzione complessa con polo \(z_p\) interno alla regione di convergenza di molteplicità \(m\) allora il residuo della funzione vale :
\begin{equation}\begin{split} \label{org6a4bd55} Res[X(z), z_p]= \left. \frac{1}{(m-1)!}\frac{d^{m-1}}{d_z^{m-1}}[X(z)(z-z_p)^m] \right|_{z=z_p} \end{split}\end{equation}

5.2. Metodo d'inversione con il metodo del Teorema dei Residui

\begin{equation}\begin{split} \label{org8805b7a} x[n]= \frac{1}{j2\pi} \oint_C X(z)z^{n-1}d_z=\sum_i Res[X(z)z^{n-1}, z_i ] \end{split}\end{equation}

Dimostrazione

\begin{equation}\begin{split} \label{org7a5ddfb} \frac{1}{j2\pi} \oint_C X(z)z^{n-1} d_z = \\ \frac{1}{j2\pi} \oint_C \left ( \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k] z^{-k} \right ) z^{n-1} d_z = \\ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k] \left ( \frac{1}{j2\pi} \oint_C z^{n-1-k} d_z \right ) = \begin{cases} \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]=x[n] & per\ n=k \\ 0 & per\ n \neq k \end{cases} \end{split}\end{equation}
per cui
\begin{equation}\begin{split} \label{orgacc2a70} x[n]=\frac{1}{j2\pi} \int_C X(z)z^{n-1} d_z \end{split}\end{equation}

5.3. Metodo d'inversione con la forma frazionaria

Sia S\(X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}\) una funzione complessa esprimibile in forma frazionaria

per la risoluzione si ricorre al metodo dei fratti semplici calcolando i poli

\begin{equation}\begin{split} \label{orgf9a86fb} X(z)=\frac{N(z)}{D(z)} \rightarrow \frac{X(z)}{z}=\frac{N(z)}{zD(z)} \end{split}\end{equation}

calcolo i poli della \eqref{orgf9a86fb} e ottengo due casi :

poli semplici

\begin{equation}\begin{split} \label{org80075a7} \frac{X(z)}{z}=\frac{A_0}{z-a_0} + \cdots + \frac{A_n}{z-a_n} \end{split}\end{equation}
t.c. il generico polo si calcola
\begin{equation}\begin{split} \label{org6e43000} A_n = \left. X(z)\frac{(z-a_n)}{z} \right |_{z=a_n} \end{split}\end{equation}
per cui dopo aver calcolato tutti i termini \(A\) ottengo
\begin{equation}\begin{split} \label{org80ec522} X(z)=z\frac{A_0}{z-a_0} + \cdots +z\frac{A_n}{z-a_n} \end{split}\end{equation}
in cui ognuno dei termini vale, a seconda della ROC, \(a^nu[n]\) op. \(-a^nu[-n-1]\) ( vds esempi precedenti )
poli di molteplicità \(m\)
\begin{equation}\begin{split} \label{org31a48d8} \frac{X(z)}{z}=\frac{A_{i1}}{(z-a_i)}+\frac{A_{i2}}{(z-a_i)^2}+...+\frac{A_{ip}}{(z-a_i)^{p}} \end{split}\end{equation}
in cui il generico termine \(A_{ij}\)
\begin{equation}\begin{split} \label{orga0da0d4} A_{ij}= \frac{1}{(p-j)!} \frac{d^{p-j}}{d^{p-j}_z} \left. ( \frac{X(z)}{z}(z-a_i)^p ) \right |_{z=a_i} \end{split}\end{equation}
dove l'indice \(i=0\) significa l'assenza di derivazione.

Esempio (poli semplici)

Nella fig. 19 c'e' da notare che per il calcolo dell'antitrasformata devo trovare tutte le ROC connesse di ogni singola frazione che compone la X(z) e poi suddividere il piano in sottoinsiemi sui quali calcolare tutte le possibili antitrasformate e nel caso di specie si ha :
- \(ROC_1\) : piano z esterno al cerchio con \(|z|>2\); l'antitrasformata del primo termine è una \(\delta[n]\), il secondo ed il terzo sono monolatere dx;
- \(ROC_2\) : piano esterno al cerchio \(|z|>1/3\); l'antitrasformata del primo termine è una \(\delta[n]\), il secondo è una monolater dx e il terzo una monolatera sx perchè interna al cerchio di raggio 2;
- \(ROC_3\) : piano interno al cerchio \(|z|<1/3\); l'antitrasformata del primo termine è una \(\delta[n]\), il secondo ed il terzo sono monolatere sx;
Figure 18: calcolo dell'inversa della TDZ - no ROC

Figure 19: calcolo della ROC dell'inversa della TDZ

Esempio (poli multipli)

Figure 20: esempio di scomposizione in fattori con poli multipli

Figure 21: ROC della TDZ con poli multipli

6. Relazione di Parsefal per la TDZ

Applicando alla relazione \eqref{orgbdf8008} la definizione del teo di Parsefal \(w[n]=x[n]y^c[n]\) e per la proprietà della coniugazione si ha che :

\begin{equation}\begin{split} \label{orgce8b6b8} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^c[n]=\frac{1}{j2\pi}\oint_CX(v)Y^c(z^c / v^c )v^{-1}d_v \end{split}\end{equation}

nella considerazione che z=1 in quanto ….. e con \(v=e^{j2\pi \theta}\) la \eqref{orgce8b6b8} abbiamo :

\begin{equation}\begin{split} \label{org93ccd17} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^c[n]=\frac{1}{j2\pi}\oint_CX(v)Y^c(1 / v^c )v^{-1}d_v = \\ \frac{1}{j2\pi}\oint_CX(\theta)Y^c(\theta )d_{\theta} \end{split}\end{equation}

inoltre nel caso che \(x[n]=y[n]\) abbiamo che la \eqref{org93ccd17} diventa :

\begin{equation}\begin{split} \label{orgc871441} \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{j2\pi}\oint_c X(v)X^c(1/v^c )v^{-1}d_v \end{split}\end{equation}

Nel caso di variabili reali la \eqref{org93ccd17} e la \eqref{orgc871441} diventano

\begin{equation}\begin{split} \label{org6afbc77} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^c[n]=\frac{1}{j2\pi}\oint_C X(v)Y^c(v^{-1})v^{-1}d_v \end{split}\end{equation}

inoltre nel caso che \(x[n]=y[n]\) abbiamo che la \eqref{org93ccd17} diventa :

\begin{equation}\begin{split} \label{org29891db} \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{j2\pi}\oint_c X(v)X^c(v^{-1})v^{-1}d_v \end{split}\end{equation}