Delta di Dirac

1. Scopo

Permette di estendere il concetto di TDF anche a segnali con discontinuità oppure a segnali periodici rappresentabili con la TDF come ad esempio i segnali ad energia infinita quali, ad esempio, quelli con componente continua.

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2. Funzionale

Cambio di paradigma sul significato dell'integrale non più come somma di Reiman ma come funzione che associa ad ogni suo valore del suo argomento ( funzione ) uno scalare. Un funzionale è definito come segue :

$I_φ(t)=∫ f(t)φ(t)d_t$

in cui $\phi(t)$ è una funzione di test a supporto compatto, cioè $\phi(t) \in C^{\infty} e\ diversa\ da\ 0\ solo\ in\ [a,b]$ che da significato all'integrale. Ad esempio se $\phi(t)=1$ allora $I_{\phi}$ è l'area dell'integrale.

2.1. Proprietà

lineartità : ereditata dall'integrale;
continuità : $\phi(t)$ è continua e se lo è anche $f(t)$ cioè
$lim_{\epsilon \rightarrow 0}f(t+\epsilon)=f(t)$, allora:

\begin{equation}\begin{split} lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int f(t+\epsilon)\phi(t)d_{t}=\\ \int lim_{\epsilon \rightarrow 0}f({t+\epsilon)\phi(t) d_{t}=\\ \int f(t) \phi(t) d_{t}} \end{split}\end{equation}

3. Distribuzione

Quando un funzionale è lineare e continuo allora è una distribuzione.

4. Delta di Dirac $\delta(t)$

E' quella funzione t.c. il suo funzionale per qualunque funzione di test risulta $\phi(0)=\int \delta(t)\phi(t)d_{t}$

4.1. Giustificazione dell' esistenza

Si consideri la seguente situazione

Figure 1: Giustificazione dell'esistenza della $\delta(t)$

in cui $u_{\epsilon}(t)$ è continua su tutto R cioè $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}u_{\epsilon}(t)=u(t)$. Dunque $u_{\epsilon(t)}$ ammette derivata $\delta_{\epsilon}(t)$ la quale però non è continua nell'intervallo $]-\infty,\infty[$.

E' è però lecito scrivere

$\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\delta_{\epsilon}(t) = funzione\ di\ base\ nulla\ e\ altezza\ infinita$

che chiameremo $\delta(t)$ e che è definita solo in 0. Inoltre è possibile scrivere :

$u(t)=\lim_{\epsilon \rightarrow 0}u_{\epsilon}(t)=\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int \delta_{\epsilon} d_{t}=\int \lim_{\epsilon \rightarrow 0} u_{\epsilon}(t)d_{t}= \int \delta(t) d_{t}$

da cui si ricava che il significato funzionale è che $\frac{d}{d{t}}u(t)=\delta(t)$.

Inoltre partendo dall'osservazione che :

l'area sottesa a $\delta{\epsilon(t)}$ è sempre 1 $\forall \epsilon$;
$\int \delta(t)d_{t}=\int \delta(t) 1 d_{t}=\int \delta(t) \phi(t) d_{t}=\phi(0)$ che altro non è la definizione di delta di D.;

allora esendo $\phi(t)=1$ il funzionale rappresenta l'area sottesa a $\delta(t)$ che essendo ottentua come limite di $\delta_{\epsilon}(t)$ la cui area è costantemente 1 allora $\int \delta(t)d_{t}=1$ che è il significato analitico .

5. Proprietà

5.1. proprietà campionatrice

La relazione $\int \delta(t)\phi(t)d_{t}=\phi(0)$ è conosciuta come la proprietà campionatrice della delta di Dirac. Infatti $\int \delta(t)f(t)d_{t}=\int \delta(0)f(0)d_{t}=f(0)$ in quanto la delta di D. è definita solo in 0.

5.2. Simmetria

$\delta(t)=\delta(-t)$

5.3. covoluzione

$g(t)*\delta(t)=\int g(t)\delta(t-\alpha)d_{t}=g(\alpha)$

5.4. Moltiplicazione per uno scalare

$\int A\delta(t)d_{t}=A$

6. Limite nel senso delle distribuzioni

7. derivata distribuzionale

Per comprendere il significato della derivata distribuzionale ci si basa sulla proprietà della derivazione del prodotto di funzioni:

$\frac{d}{d_{t}}f(t)\phi(t)=f'(t)\phi{t}+f(t)\phi'(t)$

\begin{equation}\begin{split} \int \frac{d}{d_{t}}f(t)\phi(t) d_{t}=\int f'(t)\phi{t}+f(t)\phi'(t)d_{t}=\int f'(t)\phi{t} d_{t} + \int f(t)\phi'(t) d_{t} \\ \int f'(t)\phi{t}d_{t}= [f(t)\phi(t) ]^{t=\infty}_{t=-\infty} - \int f(t)\phi'(t) d_{t}\\ \int f'(t)\phi{t}d_{t}= - \int f(t)\phi'(t) d_{t}\\ \end{split}\end{equation}

in cui $[f(t)\phi(t) ]^{t=\infty}_{t=-\infty}=0$ in quanto $\phi(t)$ è a supporto compatto, inoltre essendo $\phi(t)$ una funzione di test che scelgo in modo arbitrario ne conosco la derivata per cui in conseguenza conosco la derivata della distribuzione.

7.1. Esempio

Figure 2: riepilogo della prop. della derivata

8. TDF della delta di DIRAC

8.1. Definizione

Dalla definizione di TDF si ricava quella per la delta di D. che
$\delta(f)=\int \delta(t) e^{-j2\pi ft}d_{t}=1$ in quanto $\delta(t)\neq 0$ solo in 0.

8.2. Covoluzione

per la prorietà covolutiva della TDF si ha che
$g(t)*δ(t - t₀) ⇒ G(f)δ(f - f₀)=G(f- f₀)$
in quanto la delta di D. è non nulla solo in $(f-f_{0})$ proprietà di campionamento della delta di D. .

8.3. TDF di un segnale complesso

Senza l'introduzione della delta di D. questa TDF non avrebbe senso in quanto l'energia di g(t) è infinita.
$g(t)=e^{j2\pi f_{0}t}=1 e^{j2\pi f_{0}t} \Rightarrow G(f)=\delta(f-f_{0})$

esempio :

TDF di $g(t)=cos(2\pi f_{0} t)= \frac{e^{j2\pi f_{0}t} + e^{-j2\pi f_{0}t}}{2}$

$g(t) \Rightarrow G(f)=\frac{1}{2}(\delta(f - f_{0}) - \delta(f + f_{0}))$

8.4. TDF di u(t)

TDF della funzione $g(t)=e^{-bt}$ per $t >=0$

Figure 3: funzione $e^{-bt}$ e sua TDF
TDF della funzione sgn(t) intesa come limite per $b \rightarrow 0$ della funzione $e^{-bt}$ estesa all'infinito

Figure 4: funzione $sgn(t)$ e sua TDF
TDF di u(t) intesa come traslazione verticale della funzione $sgn(t)$

Figure 5: funzione $u(t)$ e sua TDF

9. TDF di un segnale periodico

Sia $X_{T}(t)=rect(\frac{t}{T_{0}})x(t)$ la troncata al periodo base di un segnale periodico $x(t)$ e sia

\begin{equation}\begin{split} X_{p}(t)=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty} X_{T}(t - nT_{0})=\\ =\sum_{n=-\infty}^{n=\infty} G(n)e^{j2\pi \frac{n}{T_{0}}t } \end{split}\end{equation}

la ridefinizione del segnale periodico in cui l'ultima uguaglianza si ricava dalla definizione della SDF in cui

\begin{equation}\begin{split} \label{orgc9d4d60} G(n)=\frac{1}{T_0}\int_{-\infty}^{\infty}X_{T}(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t} = \\ =\frac{1}{T_{0}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)rect(\frac{t}{T_{0}})e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t}=\\ =\frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}/2}^{T_{0}/2} x(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t} \end{split}\end{equation}

per la definizione di TDF di un segnale periodico si rende necessario :

Riscrittura di G(n) in funzione della sostituzione $f_{0}=\frac{1}{T_{0}}$
riscrittura della SDF con il nuovo coeficente
TDF dell'argomento della SDF

per cui

\begin{equation}\begin{split} G(n)=\frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}/2}^{T_{0}/2} x(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t}=\\ f_{0}\int_{T_{0}/2}^{T_{0}/2} x(t)e^{-j2\pi nf_{0}t}d_{t}=f_{0}G(nf_{0}) \end{split}\end{equation}

dal'ultima relazione possiamo scrivere

\[X_{p}(t)=f_{0}\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}G(f)e^{j2\pi nf_{0}t }\]

per cui applicando la TDF alla serie si ottiene

\[X_{p}(t) \Rightarrow X_p(f)=f_{0}\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}G(f)\delta(f - nf_{0})\]

10. Pettine di DIRAC

Sia

\[\delta_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}\delta(t - nT_{0})=\sum_{n=-\infty}^{n=\infty}\delta(n)e^{j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}\]

e in analogia con la \eqref{orgc9d4d60} si ridefinisce il coeficente della SDF in funzione della frequenza per cui

\begin{equation}\begin{split} \label{org304d4f5} \delta(n)=\frac{1}{T_{0}}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t}=\\ \frac{1}{T_{0}}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)rect(\frac{t}{T_{0}})e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t}=\\ \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}/2}^{T_{0}/2} \delta(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T_{0}}t}d_{t}=\\ f_{0}\int_{T_{0}/2}^{T_{0}/2} \delta(t)e^{-j2\pi nf_{0}t}d_{t}=f_{0} \end{split}\end{equation}

e dunque la SDF diventa

\begin{equation} \label{org311af56} \delta_p(t)=f_{0}\sum_{n=-\infty}^{n=\infty} 1e^{j2\pi nf_{0}t} \end{equation}

la cui TDF, per la definizione di TDF di funzione periodica diventa :

\begin{equation} \label{orgec501f7} \delta_{p}(t) \Rightarrow \delta_{p}(f)=f_{0}\sum_{n=-\infty}^{n=\infty} \delta(f - nf_{0}) \end{equation}

L'immagine nel seguito mostra la rappresentazione del pettine di Dirac