Serie di Fourier
1. Premessa
In uno spazio dotato di metrica un qualsiasi segnale ad energia/potenza finita può essere rappresentato come un vettore e dunque l'insieme dei segnali misurabili rappresenta esso stesso uno spazio metrico in cui è possibile definire il concetto di distanza che per le nostre esigenze è definita partendo dal prodoto interno, quell'operazione t.c. se applicata a due vettori rende possibile associare uno scalare reale maggiore o uguale a zero appartenente allo stesso campo sul quale sono definiti i vettori. Gli spazi cercati sono quelli di Hilbert e l'operazione cercata è basata sulla definizione di prodotto scalare la quale ha significato anche in caso di risultato nullo: vettori ortogonali.
Definita l'operazione di prodotto interno è possibile definire quella di :
- norma ( \eqref{org32ad0ba} ), che ad un vettore associa un numero reale, ottenibile dalla definizione di prodotto interno ( \eqref{orgdcd97e4} ) applicato ad uno stesso vettore il cui valore, nella considerazione che lo spazio in parola è euclideo, rappresenta la lunghezza ( distanza dal punto di applicazione ). Da notare che questa definizione di norma è solo una delle possibilità, in pratica vi sono norme definibili sulla base di altre operazioni per cui si conclude esistono vari definizioni di norma;
- distanza lo spazio di H. è uno spazio di funzioni a quadrato sommabili;
Dalla definizione di angolo tra vettori sulla base del prodotto scalare si definisce la \eqref{orgd965871} dalla quale si giustifica il significato di prodotto scalare nullo : vettori perpendicolari.
Tra le proprietà del prodotto interno vi è la disuguaglianza di Swartz \eqref{org2bc1117} in cui l'uguaglianza vale solo se i vettori sono lineramenti indipendenti.
1.1. Prodotto Interno
che nel caso di vettori finiti diventa1 :
\begin{equation} \label{org670c89b} <\vec g,\vec w >=\sum_{i=1}^{n} \begin{bmatrix} g_{1} \\ \vdots \\ g_{n} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_{1} & \cdots & w_{n}\\ \end{bmatrix} \end{equation}1.2. Versori
Vettori con norma unitaria definiti come nella \eqref{org37247f2}
\begin{equation} \label{org37247f2} \vec \phi = \frac{\vec g}{\lVert \vec g \rVert} \end{equation}1.3. Norma
1.4. Distanza tra vettori
in cui l'intervallo \([a,b]\) è quello di definizione dei segnali e può essere illimitato. Distanza e norma possono essere messe in relazione tramite :
\begin{equation} \label{org50e7ace} d(\vec g, 0)= (\int \lvert g(t) - 0) \rvert^2 d_{t})^{1/2}=(\int (\lvert g(t)g^c(t) \rvert)^2 d_{t})^{1/2}=\lvert <\vec g, \vec g> \rvert^{1/2}=\lVert \vec g \rVert \end{equation}1.5. Disuguaglianza di Swartz
da cui
\begin{equation} \label{org2bc1117} <\vec g, \vec w> \leq \lVert \vec g \rVert^2 \lVert \vec w \rVert^2 \end{equation}Dalla \eqref{org2bc1117} si ha
\begin{equation} \label{org20dd5f6} \frac{<\vec g, \vec w>}{\lVert \vec g \rVert^2 \lVert \vec w \rVert^2} \leq 1 \end{equation}che vale uno solamente quando i vettori sono linearmenti indipendenti.
1.6. Angolo tra vettori
Negli spazi euclidei l'angolo tra vettori è definito come
\begin{equation} \label{orgd965871} cos(\theta)= \frac{Re(<\vec g,\vec w>)}{\lVert \vec g \rVert \lVert \vec w \rVert} \end{equation}da cui :
\begin{equation} \label{org7132c5a} Re(<\vec g, \vec w>) = cos(\theta)\lVert \vec w \rVert \lVert \vec g \rVert = a_w \lVert \vec g \rVert \end{equation}se \(\vec g\) è un versore la \eqref{org7132c5a} diventa
\begin{equation} \label{org32ad0ba} Re(<\vec g, \vec w>) = cos(\theta)\lVert \vec w \rVert = a_w \end{equation}dove \(a_w\) può essere visto come un coeficente di proiezione.
1.7. Vettori Ortonormali
Versori a due a due perpendicolari
2. Definizione della SDF
Nella \eqref{org7132c5a} il proddoto scalare identifica la proiezione di un generico vettore lungo un versore ma se quest'ultimo fa barte di una base dello spazio vettoriale cui appartiene il vettore che ha generato la proiezione allora la somma di tutte le proiezioni da come somma il vettore stesso e cioè :
\begin{equation} \label{org66246ba} \vec w = \sum_{w=1}^{n}\alpha_w \vec g \end{equation}che altro non è che la struttura della Serie di Fourier.
Se \(\vec g \in W\) e l'insieme \(\{\vec g_1, ... ,\vec g_n \}\) è una base di W allora la \eqref{org66246ba} rappresenta :
- il vettore \(\vec w\) se la base è completa;
- un'approsimazione, di errore \(\vec w_{err} \perp \vec w\), se la base non è completa;
Nella pratica comune una qualsiasi funzione periodica \(x(t)\) di periodo T può essere rappresentata nel suo spazio di esistenza da versori complessi del tipo \(\frac{1}{\sqrt T}e^{j2\pi\frac{k}{T}t}\) per cui il coeficente della SDF diventa :
\begin{equation} \label{orgccedd04} c_k = < x(t), e^{j 2\pi \frac{k}{T} t}> = \frac{1}{\sqrt T} \int_{- T/2}^{T/2} x(t) e^{-j2\pi\frac{k}{T}t} d_{t} \end{equation}Per cui la SDF complessa diventa :
\begin{equation} \label{org794e5e5} x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k \frac{1}{\sqrt T}e^{j2\pi\frac{k}{T}t}=\sum_{k=-T/2}^{T/2}G_k e^{j2\pi\frac{k}{T}t} \end{equation}con
\begin{equation} \label{org4611fd3} G_k = \frac{1}{T} \int_{- T/2}^{T/2} x(t) e^{-j2\pi\frac{k}{T}t} d_{t} \end{equation}2.1. SDF per un segnale non periodico
VDS Trasformata di Fourier
3. SDF in forma reale
Partendo dall'osservazione che
\begin{equation} \label{org0f2b92c} x(t)=\sum_{k=-\infty}^{-1} G_ke^{j2\pi\frac{k}{T}t} + G_0 + \sum_{k=1}^{\infty}G_ke^{j2\pi\frac{k}{T}t} \end{equation}che moltiplicano il coeficente della prima della \eqref{org0f2b92c} SDF per -1 si ottiene
\begin{equation} \label{org09dc787} x(t)=\sum_{k=1}^{\infty} G_{-k}e^{j2\pi\frac{-k}{T}t} + G_0 + \sum_{k=1}^{\infty}G_ke^{j2\pi\frac{k}{T}t} \end{equation}per cui se \(\phi=e^{j2\pi\frac{k}{T}t}\) allora \(\phi^ce^{j2\pi\frac{-k}{T}t}\) e \(G_{-k}=G^c_k\), dunque
\begin{equation} \label{orga0fa8fc} x(t)=G_0 + \sum_{k=1}^{\infty} [G^c_k\phi^c + G_k\phi] \end{equation}infine per la proprietà delle funzioni reali che \(X(t)=x^c(t)\) posso eguagliare i termini \(G^c_k\phi^c = G_k\phi\).
3.1. SDF in forma trigonometrica
Per il passaggio alla forma reale trigonometrica
\begin{equation} \label{org981623b} \phi = e^{j2\pi\frac{k}{T}t} =\cos(2\pi\frac{k}{T}t) + j\sin(j2\pi\frac{k}{T}t) \end{equation}per cui la \eqref{orga0fa8fc}
\begin{equation}\begin{split} \label{org0c3a598} G_k\phi_k + G_k^c\phi^c=G_k[\cos(2\pi\frac{k}{T}t)+jsin(2\pi\frac{k}{T}t)] + G_k^c[\cos(2\pi\frac{k}{T}t) - jsin(2\pi\frac{k}{T}t)] = \\ =...=2Re\{G_k\}\cos(2\pi\frac{k}{T}t) + 2Im\{G_k\}sin(2\pi\frac{k}{T}t) = \\ = \frac{A_k}{2}\cos(2\pi\frac{k}{T}t) - \frac{B_k}{2}sin(2\pi\frac{k}{T}t) \end{split}\end{equation}Per cui in funzione della \eqref{orgdcd97e4} la SDF diventa un polinomio trigonometrico del tipo
\begin{equation} \label{org97ebed4} x(t)=\frac{A_o}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{A_k}{2}\cos(2\pi\frac{k}{T}t) - \frac{B_k}{2}sin(2\pi\frac{k}{T}t) \end{equation}in cui
\begin{equation} \label{orgdbbc996} A_k=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\cos(2\pi\frac{k}{T}t) d_t \end{equation} \begin{equation} \label{org8ce8a0a} B_k=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\sin(2\pi\frac{k}{T}t) d_t \end{equation}NB : quando x(t) reale pari \(B_k=0\) quando è reale ed dispari \(A_k=0\).
3.2. SDF in modulo e fase ( polare )
Per esprimere la SDF in modulo e fase basta osservare che
\begin{equation} \label{orgd02dad8} G_k=\lvert G_k \rvert e^{j\theta} \end{equation}per cui la \eqref{orga0fa8fc} uò essere riscritta come segue
\begin{equation}\begin{split} \label{org43c816f} x(t)=G_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\lvert G_k \rvert e^{j\theta_k}[e^{j2\pi\frac{k}{T}t} + e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}]= \\ = G_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\lvert G_k \rvert 2e^{j\theta_k}{\frac{[e^{j2\pi\frac{k}{T}t} + e^{-j2\pi\frac{k}{T}t}]}{2}}= \\ = G_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty}\lvert G_k \rvert \cos(2\pi\frac{k}{T}t + \theta_k) \end{split}\end{equation}in cui \(G_0\) rappresenta il valor medio del segnale.
3.3. Spettro di un segnale
Al fine di meglio comprendere il concetto di spettro di ampiezza e fase si osservi la seguente figura
NB : si definisce fase \(\angle{G_k}=\theta_k\) per cui
| \(x(t)\) | Modulo | Fase | svil. trigonom. |
|---|---|---|---|
| reale | \(G^c_k=G_{-k}\) | \(\angle{G^c_k}=-\angle{G_{-k}}\) | \(\cos\) e \(\sin\) |
| reale pari | \(G_k=G_{-k}\) | \(\angle{G^c_k}=0\) | solo \(\cos\) |
| reale dispari | \(G_k=-G_{-k}\) | \(\angle{G^c_k} \in \{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\}\) | solo \(\sin\) |
4. Proprietà della SDF
- comportamento asintottico di \(c_k\) la SDf di una funzione/segnale (x) converge in ogni punto in cui è derivabile e in quei punti \(c_k \rightarrow 0\) per \(k \rightarrow \infty\) con velocità \(O(\frac{1}{|k|^{n+1}})\) dove \(n\) è l'ordine di differenziabilità che nel caso di funzioni continue coincide con quello di derivabilità \(k\) oltre il quale la funzione è continua a tratti. Maggiore è l'ordine di differenziabilità maggiore è la regolarità della funzione e tanto più velocemente \(c_k\) andrà a zero.
- linearità i coeficenti della SDF di un segnale combinazione lineare di altri segnali sono combinazioni lineari dei coeficenti di ogni singola SDF. In consegnuenza anche gòi spettri sono combinazione lienare di tutti i singoli spettri.
- traslazione temporale i coeficenti della SDF di un segnale traslato nel tempo sono anch'essi traslati nel tempo, cioè : \(x(t-t_0) \Rightarrow c_k(t_0)=c_k\frac{1}{\sqrt(T)}e^{j2\pi \frac{k}{T}t_0}\).
5. Esempio
