Sequenze
1. Definizione
2. Operazioni tra sequenze
- Somma \(w[n]=x[n]+y[n]\)
- Prodotto \(w[n]=x[n]y[n]\)
- Concoluzione \(w[n]=x[n] \otimes y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]y[n-k]\)
- Traslazione \(w[n]=x[n-n_0]\)
- Inversione \(w[n]=x[-n]\)
- Impulso discreto analogo della \(\delta(t)\)
per vale il seguente teorema
\begin{equation} \label{orgeef27c0} x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n-k] \end{equation}- Gradino unitario
altre relazioni utili
\begin{equation} \label{orgfb95982} u[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}\delta [k] \end{equation} \begin{equation} \label{org6c5d1e8} \delta [n]=u[n]-u[n-1] \end{equation}- Esponenziale \(x[n]=a^n\)
Sequenza sinusoidale
\(x[n]=Acos(\omega_0 n + \phi)=\frac{A}{2}e^{j\omega_0 n + \phi} + \frac{A}{2}e^{-j\omega_0 n + \phi}\)con \(x[n]=x[n+N]\) con \(\omega_0 N=2k\pi, k \in Z\)
3. TDF per sequenze
Sia
\begin{equation}\begin{split} \label{orgd8e325f} x_c(t)=p(t)x(t) \end{split}\end{equation}una funzione continua ottenuta da un insieme discreto di valori, campioni, ottenuti applicando la seguente funzione di campionamento \(p(t)\) al segnale continuo \(x(t)\) :
\begin{equation}\begin{split} \label{orgfe961ad} p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t - nT) \end{split}\end{equation}per cui la \eqref{orgd8e325f} diventa
\begin{equation}\begin{split} \label{org4613203} x_c(t)=(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta (t-nT))x(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta (t-nT)x(t) \end{split}\end{equation}La covoluzione precedente permette di ottenere i soli valori utili del segnale continuo ipo \(x(nT)\) per cui la \eqref{org4613203} diventa
\begin{equation}\begin{split} \label{org70936e9} x_c(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta (t-nT)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n] \end{split}\end{equation}Per il calcolo della TDF si possono utilizzare i seguenti tre metodi :
- riscrivo \(x_c(t)\) come SDF;
- utilizzo la covoluzione tra le TDF del segnale campionatore e di quello continuo;
- trasformo direttamente \(x_c(f)\) in quanto funzione continua;
3.1. Trasformazione mediante riscrittura con l'utilizzo di SDF
con
\begin{equation}\begin{split} \label{org38d2df4} c_n=\frac{1}{T}\int_{n=-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j2\pi (n/T)t}d_t=\frac{1}{T} \end{split}\end{equation}per cui la \eqref{org9007323} diventa :
\begin{equation}\begin{split} \label{org48bf781} p(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j2\pi (n/T)t} \end{split}\end{equation}per cui la \eqref{org70936e9} diventa
\begin{equation}\begin{split} \label{orgdc5a8a7} x_c(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) e^{j2\pi (n/T)t}=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{j2\pi (n/T)t} \end{split}\end{equation}per cui trasformando la \eqref{orgdc5a8a7} con la seguente sostituzione di variabile \(f_c=\frac{1}{T}\)
\begin{equation}\begin{split} \label{orgfea3825} X_c(f)=f_c \sum_{n=-\infty}^{\infty} X(f - nf_c) \end{split}\end{equation}3.2. uso della covoluzione tra le TDF del segnale campionatore e di quello continuo
Sulla base del risultato precedente si può scrivere
\begin{equation}\begin{split} \label{org0defe19} X_c(f)=X(f)*P(f) \end{split}\end{equation}con \(P(f)\) ottenuta trasformando la \eqref{org48bf781}
\begin{equation}\begin{split} \label{org0b1ada7} P(f)=f_c\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta (f - nf_c) \end{split}\end{equation}per cui la \eqref{org0defe19} diventa
\begin{equation}\begin{split} \label{org55f2e0d} X_c(f)=\int X(f) P(f - \theta)d_f=\int X(\theta) f_c\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta (f - nf_c - \theta) d_{\theta}=\\ f_c \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int X(\theta) \delta (f - nf_c - \theta) d_{\theta} = f_c \sum_{n=-\infty}^{\infty} X(f - nf_c) \end{split}\end{equation}3.3. trasformo direttamente \(x_c(f)\) in quanto funzione continua
Trasformo direttamente la \eqref{org70936e9}
\begin{equation}\begin{split} \label{org2e78539} X_c(f)=\int x_c(f) e^{-j2\pi ft} d_t = \int (\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta (t-nT) ) e^{-j2\pi ft} d_t= \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT) \int \delta (t-nT) ) e^{-j2\pi ft} d_t =\\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT) e^{-j2\pi nfT}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n] e^{-j2\pi nfT} \end{split}\end{equation}3.4. Normalizzazione delle TDF
Applicando la seguente sostituzione di variabile
- \(F=fT=\frac{f}{f_c}\) da cui \(f=Ff_c\) : rende il periodo della funzione \(X(F)\) unitario con \(F \in [-0.5, 0.5]\);
- \(\omega=2\pi F=2\pi \frac{f}{f_c}\) : rende il periodo della funzione \(X(F)\) di periodo \(2\pi\) con \(\omega \in [-\pi,\pi]\);
ottengo le seguenti serie di potenze .
- alla \eqref{org2e78539} ottengo
\begin{equation}\begin{split} \label{org24f195e} X(F)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n] e^{-j2\pi nF} \end{split}\end{equation} \begin{equation}\begin{split} \label{orga4b5fab} X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n] e^{-jn\omega } \end{split}\end{equation} - alla \eqref{org55f2e0d} e alla \eqref{orgfea3825} ottengo
\begin{equation}\begin{split} \label{orgfe50375} X_c(Ff_c)=f_c \sum_{n=-\infty}^{\infty} X(Ff_c - nf_c) \end{split}\end{equation}
3.5. Convergenza della TDF
Come si nota osservando la TDF di una sequenza altro non è che la somma infinita di una serie di potenze complesse in particolare la \eqref{orga4b5fab} lo è nella variabile \(z=e^{-j\omega}\) . Dunque la \eqref{org24f195e} e la \eqref{orga4b5fab} possono essere riscritte in funzione delle loro somme parziali :
\begin{equation}\begin{split} \label{orge5a6323} \lim_{M \rightarrow \infty} X_M(\omega)=\lim_{M \rightarrow \infty} \sum_{n=-M}^{M} x[n] e^{j\omega n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{j\omega n}=X(\omega) \end{split}\end{equation}inoltre per le predette serie è possibile impostare i seguenti criteri di convergenza :
- in modo uniforme, più stringente, \(X(\omega) \leq |X(\omega)|=|\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{j\omega n}| \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]| \leq \infty\)
- in modo quadratico medio \(X(\omega) \leq |X(\omega)|^2=|\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{j\omega n}|^2 \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 \leq \infty\). Se x[n] rappresenta il campionamento di un segnale significa che la convergenza quadratica media la si ha per segnali ad energia finita.
Giustificazione :
La convergenza di una serie la si studia in funzione dell'errore di approssimazione inteso come differenza della funzione con la sua somma parziale \(\lim_{M \rightarrow \infty}|X(\omega) - X_M(\omega)|\). Per i tipi di convergenza indicati si ha che :
Nella convergenza uniforme per ogni \(\omega \in [-\pi,\pi]\), l'intervallo è senza buchi, l'errore deve essere annullarsi : \(\lim_{M \rightarrow \infty}| X(\omega) - X_M(\omega)|=0\); cioè :
se \(\forall \ \epsilon > 0 \ \exists \ M_{\epsilon}\) t.c. \(\forall \ M>M_{\epsilon} \ \rightarrow\) \(|X(\omega) - X_M(\omega)| < \epsilon\) .
nella convergenza quadratica invece l'errore è la media quadratica calcolata sull'intervallo \([-\pi,\pi]\) e ciò lo si ottiene utilizzando l'integrale :
\(\lim_{M \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^{\pi}|X(\omega) - X_M(\omega)|^2 d_{\omega}=0\)
da notare che che il valore dell'integrale non cambia se in qualche punto la differenza dell'argomento non è nulla e questo spiega perchè questo tipo di convergenza è meno stringente.
3.6. Inversione della TDF di una sequenza
La TDF dui una sequenza è una funzione periodica che se normalizzata ha periodo unitario oppure \(2\pi\) per cui utilizzando la definizione di inversa della TDF abbiamo le seguenti definizioni di sequenze che possono essere come : somma infinita di funzioni esponenziali ognuna di ampiezza infinitesima \(X(F)d_F\) e \(X(\omega)d_\omega\)
\begin{equation}\begin{split} \label{org5974a79} x[n]=\int_{-0.5}^{0.5} X(F) e^{j2\pi Fn}d_F \end{split}\end{equation} \begin{equation}\begin{split} \label{orge4834f7} x[n]= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(\omega) e^{j\omega n}d_\omega \end{split}\end{equation}4. Proprietà della TDF per sequenze
- linearità
- Traslazione in frequenza
- Coniugazione
- Inversione Temporale
- Derivata in Frequenza
- Convoluzione Discreta
- Prodotto nel Tempo
- teorema di Parsefal