Trasformata di Hilbert

Un riepilogo degli argomenti trattati

1. Preinviluppo
   1. passo 1 : TDH di un segnale reale \(\hat{x}(t)=x(t)\otimes \frac{1}{\pi t}=x(t)\otimes h(t)\ \Rightarrow \ \hat{X}(f)=X(f)H(f)=X(f)[jsqn(f)]\);

   2. passo 2 : il preinviluppo del segnale complesso \(x^+(t) = x(t) + j\hat{x}(t)\) trasforma un segnale reale in uno complesso;

      Per realizzare fisicamente l'implementazione di un sistema LTI che realizzi la TDH ha funzionedi trasferimento \(H(f)=2U(f)\) infatti basta oservare che \(x+^(t)=x(t) + j\hat{x}(t) \ \Rightarrow \ X^+(f)=X(f) + j\hat{X}(f)\) per cui

\begin{equation}\begin{split} \label{orgcc5cacb} X^+(f)=X(f) + j\hat{X}(f) = X(f) + j[X(f)(-jsgn(f))]= \\ = X(f) + X(f)sgn(f) = \\ = X(f)[1+ sgn(f)] = \begin{cases} 2X(f) & f>0 \\ X(f) & f=0\\ X(f)0 & f<0 \end{cases} \\ \simeq 2G(f)[1 + sgn(f)]=G(f)2U(f)=G(f)H(f) \end{split}\end{equation}

preinviluppo di segnali complessi sia \(X(f)\) la TDF di un segnale periodico

\begin{equation}\begin{split} \label{orgd405fb7} X(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}G_n\delta(f -nf_0)\\ \end{split}\end{equation}

per cui

\begin{equation}\begin{split} X^+(f)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}G_n\delta(f -nf_0)[1+ sgn(f)]=2\sum_{n=1}^{\infty}G_n\delta(f -nf_0) \end{split}\end{equation}

per cui antitrasformando la TDF si ottiene

\begin{equation} \label{org759add7} X^+(f)\ \Rightarrow \ g^+(t)=2\sum_{n=1}^{\infty}G_ne^{j2\pi uf_0t} \end{equation}

1. Inviluppo Complesso : traslazione di un segnale complesso \(\tilde{x}(t)=x^+(t)e^{j2\pi f_0 t}\)

   Altri modi di scrivere l'inviluppo :

   1. modo cartesiano \(\tilde{x}(t)=Xf(t)+jXq(t)\) in cui \(Xf(t)\) è il modo in fase e \(Xq(t)\) è il modo in quadratura;
   2. modulo e fase \(a(t)e^{\phi(t)}\) in cui se :
      1. \(a(t)=k\) e \(\phi(t) \neq k\) modulazione di fase;
      2. \(a(t)\neq k\) e \(\phi(t) = k\) modulazione di ampiezza;

   TDF dell'inviluppo Complesso \(\tilde{x}(t)=x^+(t)e^{j2\pi f_0 t} \ \Rightarrow \ \tilde{X}(f)=X^+(f-f_0)\)

1. \(x(t) \perp \hat{x}(t)\) per la dimostrazione è necessario verificare che \(C(0)=0\);
2. \(x(t) \ e\ \hat{x}(t)\) hanno la stessa funzione di autocorrelazione;
3. \(x(t) \ e\ \hat{x}(t)\) hanno la stessa densità spettrale;
4. \(x(t) \xrightarrow[ TDH ]{} \hat{x}(t)\) hanno la stessa
5. Dalla TDF alla TDH
   1. \(x(t)\ \xrightarrow[]{TDF}\ X(f)\);
   2. \(\hat{X}(f)=X(f)[(jsgn)f]\);
   3. \(F^{-1}[\hat{X}(f)]=\hat{x}(t)\)

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